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展开剩余78%例题 1:单调性与极值 / 最值问题(基础必练)题目:已知函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2\),求函数在区间 \([-2, 4]\) 上的单调性、极值和最值。解题步骤:求定义域:函数为多项式函数海龟网,定义域为 \(\mathbb{R}\),区间 \([-2, 4]\) 在此范围内。求导化简:\(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)\)。找导函数零点:令 \(f'(x) = 0\),解得 \(x = -1\) 或 \(x = 3\)(均在区间 \([-2, 4]\) 内)。判断单调性:当 \(x \in [-2, -1)\) 时,\(f'(x) > 0\),函数单调递增;当 \(x \in (-1, 3)\) 时,\(f'(x) < 0\),函数单调递减;当 \(x \in (3, 4]\) 时,\(f'(x) > 0\),函数单调递增。求极值:极大值:\(f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 2 = 7\);极小值:\(f(3) = 3^3 - 3 \times 3^2 - 9 \times 3 + 2 = -25\)。求最值:计算区间端点值:\(f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) + 2 = 0\),\(f(4) = 4^3 - 3 \times 4^2 - 9 \times 4 + 2 = -18\);比较极值和端点值:最大值为 7(\(x=-1\) 时),最小值为 \(-25\)(\(x=3\) 时)。思路点拨:先求导因式分解,用零点划分区间判断单调性,极值看导数符号变化,最值需对比极值和区间端点值。例题 2:不等式恒成立问题(重点题型)题目:已知当 \(x > 0\) 时,不等式 \(x - \ln x - a \geq 0\) 恒成立,求实数 a 的取值范围。解题步骤:分离参数:由 \(x - \ln x - a \geq 0\) 得 \(a \leq x - \ln x\)(\(x > 0\))。构造新函数:令 \(g(x) = x - \ln x\),问题转化为 \(a \leq g(x)_{\min}\)。求 \(g(x)\) 的单调性:求导 \(g'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}\)。当 \(x \in (0, 1)\) 时,\(g'(x) < 0\),\(g(x)\) 单调递减;当 \(x \in (1, +\infty)\) 时,\(g'(x) > 0\),\(g(x)\) 单调递增。求最小值:\(g(x)\) 在 \(x=1\) 处取得最小值,\(g(1) = 1 - \ln 1 = 1\)。得出结论:\(a \leq 1\),即实数 a 的取值范围为 \((-\infty, 1]\)。思路点拨:恒成立问题优先分离参数,转化为求函数最值,通过导数判断函数单调性进而求最值,避免直接解超越不等式。
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